## Posts

Showing posts from January, 2021 This article is based on the Train-platform paradox simlation available at https://train.tdworakowski.com . The paradox If you consider two relativistic phenomena which are length contraction and time dilation , the special theory of relativity may seem inconsistent. Imagine a train 100 meters long is passing a platform 100 meters long traveling at 90% of the speed of light . According to the theory, for the observer on the platform the train is shortened and the time inside it elapses more slowly. But for observer inside the train the length of the train is normal, time elapses normally, however the platform is shortened and the time on the platform elapses more slowly. How is it possible that both of these facts coexist? To answer this question we need to understand the third relativistic phenomenon which is relativity of simultaneity . If we consider these three phenomena together, the theory becomes consistent. You can play with the simulation to confirm that the theory

### Wiatr eteru [Polish] Bardzo ciekawą koncepcję fizyczną tzw. “eteru” przedstawiłem tu w formie krótkiego opowiadania. Jest to swego rodzaju preludium do teorii względności. Zapraszam do lektury. Opowiadanie Była letnia gwieździsta noc, kiedy nad łąkami rozbrzmiewał śpiew świerszczy, a łagodny ciepły wiatr przenikał korony sosen w pobliskim lesie. Czy to był wiatr eteru? Nie, o nim opowiem za chwilę. A na razie wsłuchajmy się dalszą część opowieści. Coś zaczęło mącić spokój. Odgłos stawał się coraz silniejszy. To był nadjeżdżający pociąg. Z ciemności wyłoniły się trzy jasne punkty, z których wydostające się światło przecinało przestrzeń tworząc efektowną smugę. Jarek postanowił rozprostować nogi. Wyszedł z przedziału i skierował się w stronę przodu pociągu do wagonu restauracyjnego, by zrelaksować się przy filiżance gorącej herbaty. Gdy szedł korytarzem mijając kolejne przedziały wpadła mu do głowy pewna myśl, a w zasadzie pytanie: “Z jaką prędkością się teraz poruszam?”. Przeanalizujmy teraz tę s

### Różniczkowanie metodą Feynmana [Polish] Istnieje prosty sposób różniczkowania skomplikowanych wyrażeń. Przedstawił go Richard Feynman podczas jednego ze swoich wykładów w Kalifornijskim Instytucie Technologicznym (Caltech). Metoda polega na zastosowaniu następującego wzoru: Pochodna funkcji $$f = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdot \ldots$$ względem $$t$$ wynosi: $$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = f \cdot \left[ a\frac{\mathrm{d}u/\mathrm{d}t}{u} + b\frac{\mathrm{d}v/\mathrm{d}t}{v} + c\frac{\mathrm{d}w/\mathrm{d}t}{w} + \ \cdots \ \right] \tag{1}$$ gdzie $$k$$ i $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$\ldots$$ są stałymi. Przykład Obliczmy następującą pochodną: $$\left[ \frac{(3x^2+1)(x^3-2x)^2}{\sqrt{2x^2+x}(5x)^{3/2}} + \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{2x+3}+x} \right]'$$ Jak widać funkcja, którą będziemy różniczkować jest sumą dwóch składników. Każdy z tych składników to iloczyn, dla którego można zastosować wzór (1) w celu obliczenia jego pochodnej. Przystąpmy do obliczeń. Krok 1 Na początku za

### Matematyczny alfabet [Polish] Poniżej znajduje się lista liter używanych w matematyce, zapożyczonych z różnych alfabetów. Alfabet grecki $$A \alpha$$ alfa $$N \nu$$ ni $$B \beta$$ beta $$\Xi \xi$$ ksi $$\Gamma \gamma$$ gamma $$O o$$ omikron $$\Delta \delta$$ delta $$\Pi \pi$$ pi $$E \epsilon \varepsilon$$ epsilon $$P\rho \varrho$$ ro $$Z \zeta$$ dzeta $$\Sigma \sigma$$ sigma $$H \eta$$ eta $$T \tau$$ tau $$\Theta \theta \vartheta$$ teta $$\Upsilon \upsilon$$ ypsilon $$I \iota$$ jota $$\Phi \phi \varphi$$ fi $$K \kappa$$ kappa $$X \chi$$ chi $$\Lambda \lambda$$ lambda $$\Psi \psi$$ psi $$M \mu$$ mi $$\Omega \omega$$ omega Uwagi dotyczące wymowy dzeta - wym. "dzeta&q