Różniczkowanie metodą Feynmana [Polish]

Istnieje prosty sposób różniczkowania skomplikowanych wyrażeń. Przedstawił go Richard Feynman podczas jednego ze swoich wykładów w Kalifornijskim Instytucie Technologicznym (Caltech). Metoda polega na zastosowaniu następującego wzoru:

Pochodna funkcji \( f = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdot \ldots \) względem \( t \) wynosi: $$ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = f \cdot \left[ a\frac{\mathrm{d}u/\mathrm{d}t}{u} + b\frac{\mathrm{d}v/\mathrm{d}t}{v} + c\frac{\mathrm{d}w/\mathrm{d}t}{w} + \ \cdots \ \right] \tag{1} $$ gdzie \( k \) i \( a \), \( b \), \( c\), \( \ldots \) są stałymi.

Przykład

Obliczmy następującą pochodną: $$ \left[ \frac{(3x^2+1)(x^3-2x)^2}{\sqrt{2x^2+x}(5x)^{3/2}} + \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{2x+3}+x} \right]' $$ Jak widać funkcja, którą będziemy różniczkować jest sumą dwóch składników. Każdy z tych składników to iloczyn, dla którego można zastosować wzór (1) w celu obliczenia jego pochodnej. Przystąpmy do obliczeń.

Krok 1

Na początku zapiszmy składniki sumy jeden pod drugim i dopiszmy do każdego z nich po prawej stronie znak mnożenia wraz z otwartym nawiasem kwadratowym: $$ \begin{align*} \frac{(3x^2+1)(x^3-2x)^2}{\sqrt{2x^2+x}(5x)^{3/2}} & \cdot \Bigg[ \\ \\ + \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{2x+3}+x} & \cdot \Bigg[ \end{align*} $$

Krok 2

Następnie w każdym rozpoczętym nawiasie kwadratowym zapiszmy sumę, której składniki to potęgi kolejnych czynników (z iloczynu na lewo od nawiasu kwadratowego) pomnożone przez pewien ułamek: $$ \begin{align*} \frac{(3x^2+1)(x^3-2x)^2}{\sqrt{2x^2+x}(5x)^{3/2}} & \cdot \left[ 1 \cdot \frac{\quad\quad\quad}{} + 2 \cdot \frac{\quad\quad\quad}{} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\quad\quad\quad}{} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\quad\quad\quad}{} \right] + \\ \\ + \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{2x+3}+x} & \cdot \left[ 1 \cdot \frac{\quad\quad\quad}{} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\quad\quad\quad}{} - 1 \cdot \frac{\quad\quad\quad}{} \right] \end{align*} $$ Zwróćmy uwagę, że dla czynników z mianownika potęga jest ujemna (zgodnie z właściwościami potęg).

Krok 3

Teraz w każdym składniku poszczególnych sum (znajdujących się w nawiasach kwadratowych) wpiszmy w mianowniku ułamka wartość odpowiadającego mu czynnika (z iloczynu na lewo od nawiasu kwadratowego) bez jego potęgi: $$ \begin{align*} \frac{(3x^2+1)(x^3-2x)^2}{\sqrt{2x^2+x}(5x)^{3/2}} & \cdot \left[ 1 \cdot \frac{}{3x^2+1} + 2 \cdot \frac{}{x^3-2x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{}{2x^2+x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{}{5x} \right] + \\ \\ + \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{2x+3}+x} & \cdot \left[ 1 \cdot \frac{}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{}{x^2+1} - 1 \cdot \frac{}{\sqrt{2x+3}+x} \right] \end{align*} $$

Krok 4

Na koniec uzupełniamy brakujące liczniki ułamków wpisując w każdym z nich pochodną jego mianownika. $$ \begin{align*} \frac{(3x^2+1)(x^3-2x)^2}{\sqrt{2x^2+x}(5x)^{3/2}} & \cdot \left[ 1 \cdot \frac{6x}{3x^2+1} + 2 \cdot \frac{3x-2}{x^3-2x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4x+1}{2x^2+x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{5x} \right] + \\ \\ + \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{2x+3}+x} & \cdot \left[ 1 \cdot \frac{0}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} - 1 \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{2x+3}}+1}{\sqrt{2x+3}+x} \right] \end{align*} $$ Zaletą metody jest to, że prowadzi od razu do wyniku, niezależnie od złożoności różniczkowanej funkcji. Pozostaje jedynie kwestia uproszczenia uzyskanego tym sposobem wyrażenia.

Uwagi

  1. Jeśli dla któregoś z czynników obliczenie pochodnej sprawia trudność to można posłużyć się tą metodą rekurencyjnie. Na przykład obliczenie pochodnej dla ostatniego czynnika z naszego przykładu jest następujące: $$ \begin{align*} \left[ \sqrt{2x+3} + x \right]' & = \sqrt{2x+3} \cdot \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x+3} \right] + x \cdot \left[ 1 \cdot \frac{1}{x} \right] \\ \\ & = \frac{\sqrt{2x+3}}{2x+3}+1 = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}+1 \end{align*} $$
  2. Czynniki będące liczbami, tak jak w naszym przykładzie czynnik równy \( 4 \), można pomijać podczas rozpisywania sumy w nawiasie kwadratowym. One i tak dają składnik sumy równy zero, który nic nie zmienia, co widać w naszych wcześniejszych obliczeniach: $$ 1 \cdot \frac{0}{4} $$
  3. Zmieniłem kolejność kroków rozpisywania sum w nawiasach kwadratowych w stosunku do oryginalnej prezentacji Feynmana. Rozpocząłem od wypisania wszystkich składników sumy w postaci potęg czynników pomnożonych przez samą kreskę ułamkową. W kolejnym kroku uzupełniałem mianowniki wszystkich ułamków, a w następnym kroku liczniki. Feynman natomiast zapisywał kolejno każdy składnik sumy w całości. Wprowadziłem tę modyfikację, aby było bardziej czytelnie i aby zminimalizować prawdopodobieństwo popełnienia błędu.

Podsumowanie

Prezentując studentom tę metodę Richard Feymnam powiedział, że na kursie analizy zwykle się jej nie podaje w takiej postaci. Dodał również, że sam jej używa do różniczkowania. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w książce "Feynman Radzi. Feynmana Wykłady z Fizyki".


Przypisy

Comments

Popular posts from this blog

PyCharm - useful shortcuts

Linux Terminal - search in history

Special relativity: Train-platform paradox