Schematy rozwiązywania równań różniczkowych

Schematy rozwiązywania równań różniczkowych

[ARTYKUŁ BĘDZIE AKTUALIZOWANY]

Zamieściłem tu schematy rozwiązywania równań różniczkowych. Do korzystania z nich wymagana jest znajomość rachunku różniczkowego i całkowego.

Informacje ogólne

Rzędy równań różniczkowych:

  • I rzędu - zależność pomiędzy pochodną funkcji, samą funkcją i jej argumentem
  • II rzędu - występuje także druga pochodna, np. \( x''=ax \)
  • (wyższe rzędy) - ANALOGICZNIE

Schematy

Lista schematów:


Równanie o zmiennych rozdzielonych x'=p(t)

Równanie: \( x'=p(t) \)

Rozwiązanie: całkowanie funkcji


Równanie o zmiennych rozdzielonych x'=p(t)x

Równanie: \( x'=p(t)x \)

Rozwiązanie:

$$ \text{rodzina funkcji} \hspace{0.25in} x(t) = C e^{\int p(t) \, dt} , \hspace{0.25in} C \in \mathbb{R} $$


Przypadek ogólny równania o zmiennych rozdzielonych

Równanie: \( x'=p(t)q(x), \hspace{0.25in} x' \hspace{0.10in} \text{to inaczej} \hspace{0.10in} \frac{dx}{dt} \)

Rozwiązanie:

$$ \int \frac{dx}{q(x)} \, dt = \int p(t) \, dt $$

Rozwiązania osobliwe:

Gdy funkcja \( q(x) \) przyjmuje wartość \( 0 \), możemy zgubić pojedyńcze nietypowe rozwiązania. Taki przypadek należy rozpatrzyć osobno.


Równania różniczkowe liniowe (INFO)

Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu ma postać:

$$ x^{(n)} + p_{n-1}(t)x^{(n-1)} + \ldots + p_{1}(t)x' + p_{0}(t)x = f(t) $$

  • jednorodne - jeśli \( f(t) = 0 \)
  • niejednorodne - jeśli \( f(t) \neq 0 \)

Równanie liniowe jednorodne I rzędu

Równanie: \( x' + p(t)x = 0 \)

Rozwiązanie:

(Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, dla którego są osobne schematy.)


Równanie liniowe niejednorodne I rzędu

Równanie: \( x' + p(t)x = f(t) \)

Rozwiązanie:

$$ x(t) = x_{N}(t) + x_{J}(t) $$

gdzie:

  • \( x_{J}(t) \) jest ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego \( x' + p(t)x = 0 \hspace{0.10in} (RJ) \) , funkcja \( p(t) \) jest ciągła
  • \( x_{N}(t) \) jest jakimkolwiek rozwiązaniem równania niejednorodnego \( x' + p(t)x = f(t) \hspace{0.10in} (RN) \)

Znajdowanie jakiegokolwiek rozw. równania niejednorodnego:

Istnieją dwie podstawowe metody:

INFO: W przeciwieństwie do metody uzmienniania stałej, metoda czynnika całkującego nie przenosi się na równania wyższych rzędów.

Metoda uzmienniania stałej:

  1. Rozwiązujemy RJ: \( x' + p(t)x = 0 \) .
  2. W rozwiązaniu RJ zastępujemy stałą \( C \) przez zmienną \( C(t) \) wyznaczając \( x(t) \).
  3. Podstawiamy wyznaczony w poprzednim kroku \( x(t) \) do RN i obliczamy \( C(t) \).
  4. Obliczone \( C(t) \) podstawiamy bez stałej (bo interesuje nas tylko jakiekolwiek rozwiązanie) do wyniku RJ z uzmiennioną stałą i obliczamy x(t) jako jakiekolwiek rozwiązanie równania niejednorodnego (RN).

Metoda czynnika całkującego:

  1. Mnożymy obie strony równania \( x' + p(t)x = q(t) \) przez tzw. czynnik całkujący \( e^{\int p(t) \, dt} \) otrzymując: $$ [xe^{\int p(t) \, dt}]' = q(t)e^{\int p(t) \, dt} . $$ WSKAZÓWKA: Najpierw obliczamy czynnik całkujący, przed podstawieniem go do powyższego równania.
  2. Całkujemy obie strony i dzielimy przez czynnik całkujący \( e^{\int p(t) \, dt} \) aby wyznaczyć funkcję \( x(t) \) .
  3. Aby uzyskać jakiekolwiek rozwiązanie równania niejednorodnego (RN), w wyznaczonym \( x(t) \) za stałą podstawiamy dowolną liczbę (zazwyczaj 0).

Comments

Popular posts from this blog

Special relativity: Train-platform paradox

Command History Searching

Vibrating string equation (without damping)