Schematy rozwiązywania równań różniczkowych

Schematy rozwiązywania równań różniczkowych

[ARTYKUŁ BĘDZIE AKTUALIZOWANY]

Zamieściłem tu schematy rozwiązywania równań różniczkowych. Do korzystania z nich wymagana jest znajomość rachunku różniczkowego i całkowego.

Informacje ogólne

Rzędy równań różniczkowych:

  • I rzędu - zależność pomiędzy pochodną funkcji, samą funkcją i jej argumentem
  • II rzędu - występuje także druga pochodna, np. \( x''=ax \)
  • (wyższe rzędy) - ANALOGICZNIE

Schematy

Lista schematów:

Równanie o zmiennych rozdzielonych x'=p(t)

Równanie: \( x'=p(t) \)

Rozwiązanie: całkowanie funkcji

Równanie o zmiennych rozdzielonych x'=p(t)x

Równanie: \( x'=p(t)x \)

Rozwiązanie:

$$ \text{rodzina funkcji} \hspace{0.25in} x(t) = C e^{\int p(t) \, dt} , \hspace{0.25in} C \in \mathbb{R} $$

Przypadek ogólny równania o zmiennych rozdzielonych

Równanie: \( x'=p(t)q(x), \hspace{0.25in} x' \hspace{0.10in} \text{to inaczej} \hspace{0.10in} \frac{dx}{dt} \)

Rozwiązanie:

$$ \int \frac{dx}{q(x)} \, dt = \int p(t) \, dt $$

Rozwiązania osobliwe:

Gdy funkcja \( q(x) \) przyjmuje wartość \( 0 \), możemy zgubić pojedyńcze nietypowe rozwiązania. Taki przypadek należy rozpatrzyć osobno.

Równania różniczkowe liniowe (INFO)

Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu ma postać:

$$ x^{(n)} + p_{n-1}(t)x^{(n-1)} + \ldots + p_{1}(t)x' + p_{0}(t)x = f(t) $$

  • jednorodne - jeśli \( f(t) = 0 \)
  • niejednorodne - jeśli \( f(t) \neq 0 \)

Równanie liniowe jednorodne I rzędu

Równanie: \( x' + p(t)x = 0 \)

Rozwiązanie:

(Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, dla którego są osobne schematy.)

Równanie liniowe niejednorodne I rzędu

Równanie: \( x' + p(t)x = f(t) \)

Rozwiązanie:

$$ x(t) = x_{N}(t) + x_{J}(t) $$

gdzie:

  • \( x_{J}(t) \) jest ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego \( x' + p(t)x = 0 \hspace{0.10in} (RJ) \) , funkcja \( p(t) \) jest ciągła
  • \( x_{N}(t) \) jest jakimkolwiek rozwiązaniem równania niejednorodnego \( x' + p(t)x = f(t) \hspace{0.10in} (RN) \)

Znajdowanie jakiegokolwiek rozw. równania niejednorodnego:

Istnieją dwie podstawowe metody:

INFO: W przeciwieństwie do metody uzmienniania stałej, metoda czynnika całkującego nie przenosi się na równania wyższych rzędów.

Metoda uzmienniania stałej:

  1. Rozwiązujemy RJ: \( x' + p(t)x = 0 \) .
  2. W rozwiązaniu RJ zastępujemy stałą \( C \) przez zmienną \( C(t) \) wyznaczając \( x(t) \).
  3. Podstawiamy wyznaczony w poprzednim kroku \( x(t) \) do RN i obliczamy \( C(t) \).
  4. Obliczone \( C(t) \) podstawiamy bez stałej (bo interesuje nas tylko jakiekolwiek rozwiązanie) do wyniku RJ z uzmiennioną stałą i obliczamy x(t) jako jakiekolwiek rozwiązanie równania niejednorodnego (RN).

Metoda czynnika całkującego:

  1. Mnożymy obie strony równania \( x' + p(t)x = q(t) \) przez tzw. czynnik całkujący \( e^{\int p(t) \, dt} \) otrzymując: $$ [xe^{\int p(t) \, dt}]' = q(t)e^{\int p(t) \, dt} . $$ WSKAZÓWKA: Najpierw obliczamy czynnik całkujący, przed podstawieniem go do powyższego równania.
  2. Całkujemy obie strony i dzielimy przez czynnik całkujący \( e^{\int p(t) \, dt} \) aby wyznaczyć funkcję \( x(t) \) .
  3. Aby uzyskać jakiekolwiek rozwiązanie równania niejednorodnego (RN), w wyznaczonym \( x(t) \) za stałą podstawiamy dowolną liczbę (zazwyczaj 0).

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Special relativity: Train-platform paradox

Image
This article is based on the Train-platform paradox simlation available at https://train.tdworakowski.com . The paradox If you consider two relativistic phenomena which are length contraction and time dilation , the special theory of relativity may seem inconsistent. Imagine a train 100 meters long is passing a platform 100 meters long traveling at 90% of the speed of light . According to the theory, for the observer on the platform the train is shortened and the time inside it elapses more slowly. But for observer inside the train the length of the train is normal, time elapses normally, however the platform is shortened and the time on the platform elapses more slowly. How is it possible that both of these facts coexist? To answer this question we need to understand the third relativistic phenomenon which is relativity of simultaneity . If we consider these three phenomena together, the theory becomes consistent. You can play with the simulation to confirm that the theory
Read more

Vibrating string equation (without damping)

Image
Vibrating string without damping is represented by the following differential equation: $$ \begin{cases} \begin{array}{l@{\ }l@{\ }l} \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {a^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} , & \hspace{0.25in} 0 \leqslant x \leqslant L , 0 \leqslant t \leqslant \infty , & \hspace{0.25in} \text{string equation} ; \\ u\left( {0,t} \right) = u\left( {L,t} \right) = 0 , & \hspace{0.25in} 0 \leqslant t \leqslant \infty , & \hspace{0.25in} \text{boundary conditions} ; \\ u\left( {x,0} \right) = f\left( x \right) , \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\left( {x,0} \right) = 0 , & \hspace{0.25in} 0 \leqslant x \leqslant L , & \hspace{0.25in} \text{initial conditions}; \end{array} \end{cases} \tag{1} $$ Splitting the string equation into two coupled equations We need to transform the equation: $$ \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {a^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\parti
Read more

PyCharm - useful shortcuts

Image
Here are listed useful PyCharm shortcuts, which I use very often. If you have some other favourite shortcuts, please put it in a comment. Find action Ctrl + Shift + A - find action View Alt + 1 - toggle tool window Project Alt + 7 - toggle tool window Structure Navigation Ctrl + MOUSE LB CLICK - go to clicked object definition / occurences Ctrl + Shift + RIGHT (Linux/Ubuntu) - navigate forward Ctrl + Alt + RIGHT (other OS) Ctrl + Shift + LEFT (Linux/Ubuntu) - navigate backwards Ctrl + Alt + LEFT (other OS) Ctrl + G - go to line Ctrl + N - finds a class by name Ctrl + Shift + N - finds a file by name or path Alt + RIGHT, Alt + LEFT - switch between tabs Alt + UP, Alt + DOWN - jump between functions in code Search / replace Ctrl + F - find string/regexp in file Ctrl + L - move to next occurrence Ctrl + Shift + L - move to previous occurrence Ctrl + R - re
Read more